平均数你真的明白吗
快速测验:你开车上班30km/h，开车回家60km/h。你的平均速度是多少？
提示: 结果并不是45mk/h,因为它并没有关注到你上班究竟有多远。看看下表的平均数用途吧。
| 名称&含义 | 公式/例子 | 使用情况 |
|---|---|---|
| 算术平均数[平均数] | $$\frac{sum}{size}=\frac{a + b + c}{3}$$ | 数据集中趋势指标(平均数量) |
| 中位数[中值] | 比如list的中间值（2个中间值？值有偶数个，则中位数不唯一） | 使用广泛（比如房子，收入） |
| 众数[比较多] | 出现次数最多的变量值 | 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。 |
| 几何平均数[平均因子] | $$\sqrt[3]{abc}$$ | 增长率相关，比如：面积，声音 |
| 调和平均数[平均数据] | $$\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$$ | 速率相关，比如：速度，产量，花费 |
| 平方平均数[方均根] | $$M=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}$$ | 数值分布呈现正态分布时才适用，比如：交流电电压，电流数值和匀加速运动的位移中点平均速度 |
但是，平均是什么意思？
我们有必要了解一下，“平均”是怎么一回事呢？
对于我们大多数人来说，它是一个中间数或者是一个“平衡点”的数。我通常习惯使用多观点看问题，这里给出平均数的另一种解释：
平均数是可以用其表现现在每个数的结果。如果你我吧其中一个数替换成平均值，那会怎么样呢？
平均数的一个目标是让我们从采集样本出了解“代表性”数据。但是怎么计算通常需要更具实际情况来定。接下来我先了解算术平均数。
算数平均数
算术平均数是最常见的平均数了：
$$avaerage = \frac{sum}{number}$$
举个栗子：在电梯里，你重150斤，还有一个同事重100斤，以及一个海象重350斤。那平均体重是多少？
比如：“你能克隆3个一样的人来代替这3个，那么你每个克隆的人需要多重？”
这样情况下我们每个人都能换算出克隆人需要的重量是200斤[(150 + 100 + 350)/3].
优点：
- 很容易列举出来相加
- 容易计算：加了除。
- 很直观-中间的数是在最大值和最小值之间。
缺点：
- 非常容易受到极端值影响。比如：你有1万元钱，还有一个人有199万，平均一下你也是百万富翁了。很容易让人误导。
算术平均数80%都是适用的，但是也有20%的特殊情况，这样情况下算术平均数是不合适的。
中位数
中位数是“数的中间项”。但是不平均(用算术平均数来看)表示同样的数？怎么办？
幽默故事《我第二》：这是数字的中间数是什么？
- 1，2，3，4，100
很容易看出来，3是中间数。尽管22是在这些数的中间，但是并非是真正的分布。在这个数列中我们更可能得到一个接近3的数，而非22. 这都是100拉大了平均数，其实看来100并不相关。
中位数解决了数列中间项的问题。如果有两个中间数（偶数项），只取它们的平均值。比如：1 2 3 4 2.5就是中位数。
优点：
- 处理特殊值的时候，这样往往是最具代表性的。
- 分割数据成2组，每个数量都相同。
缺点：
- 难计算：你需要对数列排序。
- 不公知(通用): 你说中间，大家认为你说的是”平均“。
关于开车的，”所有驾驶员的一半技术都是低于平均水平的。很吓人对不？“但是在你头脑中你知道这个意思是说：”有一半的司机技术都比中位数那个技术低“。
房价和收入用中位数来代表也比较合适，因为我们希望知道一个中间的位置。比如马云一年有数10亿的收入，但是他的收入和普通人的收入就不太相关了。而且我们也”不感兴趣“，我们只想知道的时”收入与房价的中位数“。
再次说明，使用那种类型的平均数，还是得依靠数据来决定。
众数
众数听起来可能和平均数无关。它是指在统计中出现次数最多的值。就像投票表决一样，这样更难代表人们想要什么。
比方说你将举行一个聚会，是选择周一好还是周末好？哪天好其实就是满足大多数人的需求，平均在这就没有意义了。（难道说张三喜欢周五，李四喜欢周末，那你就选择周六了!）
同样，颜色，电影等等的喜好等更多可以使用勾股定理来衡量.同样的理想的选择是众数，而非平均数。“the “average” color or “average” movie could be… unsatisfactory”——Rambo meets《傲慢与偏见》。
优点：
- 最有效的投票方式（选择，还是不选择）
- 给出的选择是大多数人想要的（同样也能给出大多数人不想要的）
- 简单易懂
缺点：
- 需要更多的时间来计算（统计全部票数）
- “胜者为王”- 没有中间状态
众数并不常见，但是设计一个什么样的按钮比较合适，你通常会用到。
几何平均数
“平均项”取决于我们如何利用现有的数据。大锁时候把每项相加然后除的算是平均数能解决。但是有的时候我们只这样做是不够的。比如在投资、面积、和体积上，我们不是用加，而是用乘。
再来一个例子。下面的投资组合你比较喜欢哪个？哪个这年会更优特点？
- 投资组合A: +10%, -10%, +10%, -10%
- 投资组合B: +30%, -30%, +30%, -30%
它们看起了基本一样。每天平均（算术平均值）告诉我们，它们两个都像过山车一样，出现盈利和亏损。也许B会跟好，因为一年中它获利是最多的，这样对吗？
死胡同了！这样做只会让你烧掉股市：投资与回报率是相乘的而不是相加！我们不能不管三七二十一，就用算术平均值——我们需要找到回报的实际速率。
投资组合A:
- 回报：1.1 0.9 1.1 * 0.9 = 0.98（2％的损耗）
- 去年同期平均水平（0.98）^（1/4）= 每年0.5％的损失（这正好是约2％/ 4，因为数字小）。
投资组合B：
- 1.3 0.7 1.3 * 0.7 = 0.83（17％的损失）
- 去年同期平均水平（0.83）^（1/4）= 每年4.6％的损失。
A 2% VS B 17%的损失？这是一个巨大的差距。我很想远离这两个投资组合，非要选择那就是A。我们不能只是把收益相加，这是不知道指数增长的做法。
更多的例子：
- 通货膨胀率：你有通胀1％，2％和10％。在这段时间的平均通胀是多少？（1.01 1.02 1.10）^（1/3）= 4.3％
- 优惠券：你有5折、2.5折、3.5折的优惠券。假设你可以使用他们，平均折扣是多少？（即和什么优惠券使用3次相同？）。（0.5 0.75 0.65）^（1/3）= 37.5％ 。认为优惠券是“消极”的回报-对商店来说。
- 面积：你有土地4060，那么平均一边是多少呢？（40 60）^（0.5）= 49。
- 体积：你有12×24×48的包装箱。“平均”的大小是多少，也就是和多大的立方体相同呢？（12 24 48）^（1/3）= 24。
我敢肯定你能找到更多的例子：几何平均数处理问题是用乘。我想了很久为什么几何平均数对我们来说很有用，原来就是这样啊。
调和平均数
调和平均数很难形象化，但是也很有用。（随便说一句，“调和”是指1/2, 1/3 ··· 1的任何东西。）当多个数度一起的时候，调和平均数帮助我们来计算出平均速度。我们一起来看看文章开头的快速测验。
我开车30km/h，这意味着我获得了30km/h的录入.平均速度受多个速度（X & Y）影响，你需要考虑录入（input）与产出（output），而并非原始数据（路程等）。
$$average rate = total output/total input$$
如果我们吧X和Y放入同一个环境，就速度不同。那我们推理结果是：
- 上班用1/X的时间（1 = 1/30h）
- 下班用1/Y的时间（1 = 1/60h）
最终我们得到：
- 总路程：2（X和Y各自共享1）
- 总时间：1/X + 1/Y （不同时间，像一个接力赛）
列入公式：
$$\frac{2}{\frac{1}{X} + \frac{1}{Y}}$$
如果是3个速度：
$$\frac{3}{\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} + \frac{1}{Z}}$$
这是不错的，不用每次都做代数 - 即使是5个速度的平均也不那么麻烦了。我们的例子中，我们去工作是30km/h回来是60km/h。要得到平均速度，我们只用公式就可以了。
这样不需要我们知道有多远的路程？而且！不管路多远，X和Y具有相同的输出; 也就是说，我们去X km的速度的X，和另一条X km的速度Y的平均速度和去1 km的速度的X和1km的速度Y一样：
$$\frac{2X}{\frac{X}{30} + \frac{X}{60}} = \frac{2}{\frac{1}{30} + \frac{1}{60}}$$
这是合理的，一般是朝着较慢的速度（相比60来说更接近30）倾斜。毕竟，相比30km/h和60km/h相比，我们花了两倍的时间：如果工作60（km）远，它的2个小时去，1小时回来。
核心思想：用单个元素去替换多个元素。在我们的例子中，我们开车40km/h,（途中有,而不是30km/h），并在路上开车40km/h回（而不是60）。重要的是要记住，我们需要将平均速度中的每个“相关”替换。
几个例子：
- 数据传输：我们在客户端和服务器之间发送数据。客户机在10GB/元发送数据，并接收服务器，在20GB/元。平均成本是多少？我们每一个部分平均成本是2 /（1/10 + 1/20）= 13.3GB/元。也就是说，我们可以交换客户端和服务器的两台机器，成本13.3 GB /元。由于数据被发送和接收的（各部分做“一半工作”），我们真正的速度是13.3 / 2 = 6.65 GB /元。
- 机器的生产率：我们有一台机器，有预备阶段和完成阶段。当预备时，它能生产25小部件/小时。当完成时，它能生产10小部件/小时。整体生产率是多少？平均2 /（1/25 + 1/10）= 14.28部件/小时的每一个阶段。也就是说，现有的可以替换为相同运行的部件14.28 /小时同样的效果。由于经过两个阶段，本机完成14.28 / 2 = 7.14部件/小时。
- 买股票。假设你买了价值1000元每月的股票，不讨论价格（平均成本）。你三月付25美元/股一月30元/股，二月35美元/股。支付的平均价格是多少？3 /（1/25 + 1/30 1/35 +）=29.43美元（因为你买了在较低的价格，少的更昂贵）。你有$ 3000 / 29.43 = 101.94万股。这“工作量”有点抽象-这是美元转成股份。几个月比别人用更多的美元来购买股票，在这种情况下，高利率是糟糕的情况。
调和平均数同样可以用于衡量利率。
平方平均数
平方平均数只有在数值分布呈现正态分布时才适用。高中的数学题目中常常会出现以方均根值计算班级平均成绩的题目， 这是预先假设全班成绩为正态分布的结果，实际情况不一定完全适用。 如成绩分布极为平均或呈现多峰状(如 30分、70分的人数远超过其它分数的人数)， 方均根值就无法真实表现出该班级的平均成绩。
平方平均数常用来计算一组数据和某个数据的“平均差”。像交流电的电压、电流数值以及均匀加速直线运动的位移中点平均速度，都是以其实际数值的方均根表示。例如，交流电 220V 表示电压信号的均方根（又称为有效值），即 220V，为交流电瞬时值（瞬时值又称暂态值）的最大值的$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$。
结论
即使一个简单的方法有会有多种用途，还有好多有用的我们没有覆盖
（加权平均值）。关键还是方法理解：
- “平均项”是可以看作可以取代别的项的。
- 平均使用哪种类型是要取决于实际运用。
数学是多么让人着迷，就一个平均值都千变万化。Happy math.
